Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f（ ）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（ ）=﹣ ，α∈（ ，π），求sin（α+ ）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（ ）=﹣（a+1）sinθ=0，

∵θ∈（0，π）．

∴sinθ≠0，

∴a+1=0，即a=﹣1

∵f（x）為奇函數(shù)，

∴f（0）=（a+2）cosθ=0，

∴cosθ=0，θ=

（2）解：由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+ ）=cos2x（﹣sin2x）=﹣ ，

∴f（ ）=﹣ sinα=﹣ ，

∴sinα= ，

∵α∈（ ，π），

∴cosα= =﹣ ，

∴sin（α+ ）=sinαcos +cosαsin =

【解析】（1）把x= 代入函數(shù)解析式可求得a的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出f（0）=0，進(jìn)而求得cosθ，則θ的值可得．（2）利用f（ ）=﹣ 和函數(shù)的解析式可求得sin ，進(jìn)而求得cos ，進(jìn)而利用二倍角公式分別求得sinα，cosα，最后利用兩角和與差的正弦公式求得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．