【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若對(duì)于任意，均有，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）先得出g（x）的具體表達(dá)式，然后結(jié)合基本不等式即可；

（2），設(shè)則.則在恒成立，接下來(lái)只需研究函數(shù)單調(diào)性確定其最小值解不等式即可；（3）存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立，即存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立，故研究函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大值解不等式求解即可.

詳解：

（1）

= ，

當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)取，所以當(dāng)時(shí)，.

(2)

設(shè)則.

則在恒成立，

記，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)增.

故，不成立.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減，

在區(qū)間上單調(diào)增.

從而，，所以.

（3）存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)于任意恒成立，

即存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)

于任意恒成立，

記，則，

當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù).

，此時(shí)不成立.

當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù).

所以，

當(dāng)時(shí).

滿足題意當(dāng)時(shí)，令，則記，則

當(dāng)時(shí)，，，在為減函數(shù).

,不成立，

當(dāng)時(shí)，，，在為增函數(shù).

,不成立綜上，時(shí)滿足題意.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了研究“晚上喝綠茶與失眠”有無(wú)關(guān)系，調(diào)查了100名人士，得到下面的列聯(lián)表：

失眠

不失眠

合計(jì)

晚上喝綠茶

16

40

56

晚上不喝綠茶

5

39

44

合計(jì)

21

79

100

由已知數(shù)據(jù)可以求得：，則根據(jù)下面臨界值表：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

可以做出的結(jié)論是（ ）

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠有關(guān)”

B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠無(wú)關(guān)”

C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠有關(guān)”

D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠無(wú)關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且兩座城市之間的距離為；城在城的正北方向，且兩座城市之間的距離為.由城到城只有一條公路，甲有急事要從城趕到城，現(xiàn)甲先從城沿公路步行到點(diǎn)（不包括、兩點(diǎn)）處，然后從點(diǎn)處開(kāi)始沿山路趕往城.若甲在公路上步行速度為每小時(shí)，在山路上步行速度為每小時(shí)，設(shè)（單位：弧度），甲從城趕往城所花的時(shí)間為（單位：）.

（1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)點(diǎn)在公路上何處時(shí)，甲從城到達(dá)城所花的時(shí)間最少，并求所花的最少的時(shí)間的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知且，設(shè)命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減，命題：對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立.

（1）寫出命題的否定，并求非為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.

（Ⅰ）（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（ii）已知對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅱ） 數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，是否存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？ 并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)要從高一年級(jí)甲、乙兩個(gè)班級(jí)中選擇一個(gè)班參加市電視臺(tái)組織的“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”.該校對(duì)甲、乙兩班的參賽選手（每班7人）進(jìn)行了一次環(huán)境知識(shí)測(cè)試，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生的平均分是85分，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是85.

（1）求的值；

（2）根據(jù)莖葉圖，求甲、乙兩班同學(xué)成績(jī)的方差的大小，并從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度分析，該校應(yīng)選擇甲班還是乙班參賽.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3 ， 則函數(shù)g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的所有零點(diǎn)的和為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）= x2﹣lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k﹣1，k+1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A.（1，2）
B.[1，2）
C.[0，2）
D.（0，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2 ， ），曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)）．
（1）直線l過(guò)M且與曲線C相切，求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，求曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的取值范圍．

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