Question

設(shè)a>0，函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝x－ln x，若對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f(x₁)≥g(x₂)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．

Answer 1

[，＋∞)

問題可轉(zhuǎn)化為f(x)_min≥g(x)_max，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g′(x)＝1－≥0，故g(x)單調(diào)遞增，則g(x)_max＝g(e)＝e－1.又f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，易知，x＝a是函數(shù)f(x)的極小值，當(dāng)0<a≤1時(shí)，f(x)_min＝f(1)＝1＋a²，則1＋a²≥e－1，所以≤a≤1；當(dāng)1<a≤e時(shí)，f(x)_min＝f(a)＝2a，則2a≥e－1，顯然成立，所以1<a≤e；當(dāng)a>e時(shí)，f(x)_min＝f(e)＝e＋，則e＋≥e－1，顯然成立，所以a>e.綜上，a≥.