Question

1．記函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為常數(shù)，且a≠0）．
（1）若a=1，f（b）=f（c）（b≠c），求f（2）的值；
（2）若b=1，c=-a時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為g（a），求g（a）．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入，結(jié)合f（b）=f（c）（b≠c），可得2b+c=0，進(jìn)而得到答案；
（2）將b=1，c=-a代入，分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行分類討論不同情況下，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+bx+c，
由f（b）=f（c），可得b²+b²+c=c²+bc+c，
即2b²-bc-c²=0，（b-c）（2b+c）=0，解得b=c或2b+c=0，（2分）
∵b≠c，
∴2b+c=0，（4分）
所以f（2）=4+2b+c=4．（6分）
（2）當(dāng)b=1，c=-a時(shí)，$f（x）=a{x^2}+x-a=a{（{x+\frac{1}{2a}}）^2}-a-\frac{1}{4a}$，x∈[1，2]，（7分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，$x=-\frac{1}{2a}＜1$時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
所以f_max（x）=f（2）=3a+2；   （9分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，
Ⅰ．若$-\frac{1}{2a}≥2$，即$-\frac{1}{4}≤a＜0$時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
所以f_max（x）=f（2）=3a+2；         （11分）
Ⅱ．若$-\frac{1}{2a}≤1$，即$a≤-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
所以f_max（x）=f（1）=1；      （13分）
Ⅲ．若$1＜-\frac{1}{2a}＜2$，即$-\frac{1}{2}＜a＜-\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在區(qū)間$[{1，-\frac{1}{2a}}]$上單調(diào)遞增，$[{-\frac{1}{2a}，2}]$上單調(diào)遞減，
所以${f_{max}}（x）=f（{-\frac{1}{2a}}）=-a-\frac{1}{4a}$．（15分）
綜上可得：$g（a）=\left\{{\begin{array}{l}{3a+2，a≥-\frac{1}{4}且a≠0}\\{-a-\frac{1}{4a}，-\frac{1}{2}＜a＜-\frac{1}{4}}\\{1，a≤-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．