Question

若數(shù)列滿足：是常數(shù)），則稱數(shù)列為二階線性遞推數(shù)列，且定義方程為數(shù)列的特征方程，方程的根稱為特征根； 數(shù)列的通項(xiàng)公式均可用特征根求得：

①若方程有兩相異實(shí)根，則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成，（其中是待定常數(shù)）；

②若方程有兩相同實(shí)根，則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成，（其中是待定常數(shù)）；

再利用可求得，進(jìn)而求得．

根據(jù)上述結(jié)論求下列問題：

（1）當(dāng)，（）時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)，（）時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）當(dāng)，（）時(shí)，記，若能被數(shù)整除，求所有滿足條件的正整數(shù)的取值集合．

Answer 1

（1）    （2） 

（3）

解析:

（1）由可知特征方程為：

， …………………3分

所以 設(shè)  ，由得到，

所以   ； …………………6分

（2）由可以得到

設(shè)，則上述等式可以化為：…………………8分

，所以對(duì)應(yīng)的特征方程為：

，…………………10分

所以令   ，由可以得出

所以…………………11分

即  …………………12分

（3）同樣可以得到通項(xiàng)公式………14分

所以

 

即     …………………14分

即   ，…………………16分

因此除以的余數(shù)，完全由除以的余數(shù)確定，

因?yàn)?img width=43 height=23 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/54/265854.gif">  所以  ，

，，

，，

，，

，，

由以上計(jì)算及可知，數(shù)列各項(xiàng)除以的余數(shù)依次是：

它是一個(gè)以為周期的數(shù)列，從而除以的余數(shù)等價(jià)于除以的余數(shù)，所以，，

即所求集合為：…………………18分