Question

下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是定義域上的增函數(shù)的是（　�。�

• A、y=x+1
• B、y=e^x-e^-x
• C、y=

  -2

  x

• D、y=x

  x

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：抓住題目要求，判斷給定的函數(shù)既是奇函數(shù)又是定義域上的增函數(shù)，進行逐個判斷即可．

解答： 解：選項A中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
選項D中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
選項C中，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），不符合題目要求；
選項B中，函數(shù)y=e^x-e^-x
該函數(shù)的定義域為R，
設(shè)y=f（x），則f（-x）=e^-x-e^x=-f（x）
所以該函數(shù)為奇函數(shù)，
任設(shè)x₁，x₂∈R x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=ex1-ex2+

1

ex1

-

1

ex2

＜0，
所以該函數(shù)為增函數(shù)，
滿足條件，
故選B．

點評：本題重點考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的及其運用，函數(shù)具備奇偶性的前提為給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；函數(shù)的單調(diào)性的判斷可以結(jié)合圖象，也可以借助于定義求解．