已知數(shù)列{an}滿足:a1=-5,an+1=2an+3n+1,已知存在常數(shù)p,q使數(shù)列{an+pn+q}為等比數(shù)列.
(1)求常數(shù)p、q及{an}的通項公式;
(2)解方程an=0.
(3)求|a1|+|a2|+…+|an|.
【答案】
分析:(1)假設(shè)存在,利用等比的性質(zhì)建立方程,根據(jù)同一性求參數(shù)的值,即可求解
(2)計算可求a
1,a
2,a
3,a
4,a
5,猜測n≥5,a
n>0,然后利用數(shù)學歸納法進行證明,結(jié)合計算即可求解滿足條件的n
(3)由(2)可得,當n≤3時,|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=-(a
1+a
2+a
3)+a
4+a
5+…+a
n=a
1+a
2+…+a
n-2(a
1+a
2+a
3),結(jié)合(1)可求
解答:解:(1)由條件令,a
n+1+p(n+1)+q=k(a
n+pn+q),
則:a
n+1=ka
n+(kp-p)n+kq-q-p
故:
⇒
又a
1+p+q=2
∴
,∴
(5分)
(2)計算知a
1=-5,a
2=-6,a
3=-5,a
4=0,a
5=13,
故猜測n≥5,a
n>0即2
n>3n+4,下證.
(i)當n=5成立
(ii)假設(shè)n=k(k≥5)成立,即2
k>3k+4
那么2
k+1>2•(3k+4)=6k+8>
故n=k+1成立.
由(i)、(ii)可知命題成立.
故a
n=0的解為n=4.(4分)
(3)由(2)可得,當n≤3時,|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=-(a
1+a
2+a
3)+a
4+a
5+…+a
n=a
1+a
2+…+a
n-2(a
1+a
2+a
3)
=
(4分)
點評:本題考查等比關(guān)系的確定,分組求和方法及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式的應用,數(shù)學歸納法的應用是解答(2)的關(guān)鍵,