Question

（2013•遼寧二模）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）已知函數(shù)h（x）=g（x）+ax³的一個極值點為1，求a的取值；
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用1是h（x）的極值點，可得h^′（1）=-2+a+3a=0，解得a．再驗證a的值是否滿足h（x）取得的極值的條件即可．
（2）利用導數(shù)的運算法則即可得到f^′（x），分0＜t＜

1

e

與

1

e

≤t討論，利用單調(diào)性即可得f（x）的最小值；
（3）由2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

，設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0）．對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立?a≤h（x）_min，利用導數(shù)求出h（x）的最小值即可．

解答：解：（1）∵h（x）=-x²+ax-3+ax³，∴h^′（x）=-2x+a+3ax²，
∵1是h（x）的極值點，∴h^′（1）=-2+a+3a=0，解得a=

1

2

．
經(jīng)驗證a=

1

2

滿足h（x）取得的極值的條件．
（2）∵f（x）=xlnx，∴f^′（x）=lnx+1，
令f^′（x）=0，解得x=

1

e

．當0＜x＜

1

e

時，f^′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞

1

e

時，f^′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
①0＜t＜t+2＜

1

e

無解；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

．
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f（x）_min=

- 1 e ，當0＜t＜ 1 e 時 tlnt，當t≥ 1 e 時

．
（3）2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

，
設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），則h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
令h^′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
令h^′（x）＞0，解得1＜x，∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）在x=1時取得極小值，也即最小值．
∴h（x）≥h（1）=4．
∵對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤h（x）_min=4．

點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、等價轉(zhuǎn)化為等基礎(chǔ)知識于基本技能，需要較強的推理能力和計算能力．