Question

四棱錐P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，

△PAB為正三角形，AB=BC=AD=2，E為PD中點

  (1) 求證：CE∥平面PAB；

  (2) 求二面角E—AC—D的余弦值；

  (3) 在線段BC上存在點Q使AQ⊥PD，求點Q到平面EAC的距離。

Answer 1

解法一：(Ⅰ)取AP中點P，連EF，BF

   ∵E為PD中點，∴EF∥AD且EF=AD，

   又BC∥AD且BC=AD，∴EF∥BC且

   EF=BC，∴四邊形EFBC為平行四邊形，

   ∴CE∥BF，∴CE∥平面PAB

   (Ⅱ)作PG⊥AB于G，EH⊥DG于H，則EH∥PG

   ∵平面PAB⊥底面ABCD，∴PG⊥底面ABCD，又EH∥PG，∴EH⊥底面ABCD過H

作HM⊥AC于M，連EM，則EM⊥AC，∠EMH為二面角E—AC—D的平面角，可求得EH=PG=，MH=CH·sin45°=·.

∴tan∠EMH==，

∴二面角E—AC—D的余弦值為

(Ⅲ)∵PG⊥底面ABCD，要使AQ⊥PD，只需要AQ⊥DG即可。

在直角梯形ABCD中，由△ABQ∽△DAG，可得BQ=，Q為BC的四等分點。

設(shè)Q到平面EAC的距離為h，可證BF⊥平面PAD，∵CE∥BF，∴△EAC為直角三形，

S=，

又S=由S=S

得：h·S=，∴h=

解法二：(向量法)如圖建立這空間直角坐標系O—xyz，

(Ⅰ)容易得A(-1，0,0)，C(1,2,0)，

 B(1，0,0)，P(0,，0，)

 D(-1，4,0)，E(-2，)

∴AP中點M(-0，)，計算得，

∴CE∥平面PAB

(也可以證明平面PAB的法向量與垂直)

(Ⅱ)設(shè)平面ACE的法向量

解得：

∴=(，-，1)

設(shè)二面角E—AC—D的平面角為θ，則cosθ