Question

5．若函數f（x）=x+$\frac{k}{x}$在[1，3]上的最小值為t，若t≠2$\sqrt{k}$，則正數k的取值范圍為（0，1）∪（9，+∞）．

Answer 1

分析 運用基本不等式可得f（x）≥2$\sqrt{k}$，由等號成立的條件可得$\sqrt{k}$∉[1，3]，繼而求出k的最大值與最小值．

解答 解：由題意得：x＞0，
∴f（x）=x+$\frac{k}{x}$≥2$\sqrt{k}$，
∵函數f（x）=x+$\frac{k}{x}$在[1，3]上的最小值為t，且t≠2$\sqrt{k}$，
當x=$\sqrt{k}$時，函數f（x）取得最小值2$\sqrt{k}$，
∴$\sqrt{k}$∉[1，3]，
∴正數k的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞），
故答案為：（0，1）∪（9，+∞）．

點評 本題考查了基本不等式的運用：求最值，考查了運算能力，屬于基礎題．