Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然對數(shù)的底，a∈R．
（Ⅰ）a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）在（1）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+．

Answer 1

解：（Ⅰ），
∵x∈（0，e]，
由＞0，得1＜x＜e，
∴增區(qū)間（1，e）．
由＜0，得0＜x＜1．
∴減區(qū)間（0，1）．
故減區(qū)間（0，1）；增區(qū)間（1，e）．
所以，f（x）極小值=f（1）=1．
（Ⅱ），
①當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，e）上是減函數(shù)，
∴ae-1=3，a=．
②當(dāng)時，f（x）=，f（x）在（0，e]上是減函數(shù)，
∴ae-1=3，a=．
③當(dāng)時，f（x）在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，
∴，a=e²，
所以存在a=e²．
（Ⅲ）由（Ⅰ）f（x）=x-lnx在（0，e]上的最小值為f（1）=1，
∵g（x）=，
∴，
由＞0，
解得0＜x≤e，
∴g（x）在 （0，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（e）=，
∵1＞，
∴f（x）＞g（x）+．
分析：（Ⅰ），由x∈（0，e]和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值．
（Ⅱ），由此進行分類討論能推導(dǎo)出存在a=e²．
（Ⅲ）f（x）=x-lnx在（0，e]上的最小值為1，所以，由此能夠證明f（x）＞g（x）+．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．