Question

5．設(shè)x＞0，y＞0，z＞0，且x²-4xy+9y²-z=0，則當(dāng)$\frac{z}{xy}$取得最小值時(shí)，$\frac{6}{x}+\frac{4}{y}-\frac{6}{z}$的最大值為9．

Answer 1

分析 由題意可得z，代入$\frac{z}{xy}$結(jié)合基本不等式可得x=3y且z=6y²，代入$\frac{6}{x}+\frac{4}{y}-\frac{6}{z}$由二次函數(shù)的最值可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，z＞0，且x²-4xy+9y²-z=0，
∴z=x²-4xy+9y²，∴$\frac{z}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{9y}{x}$-4≥2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9y}{x}}$-4=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{y}$=$\frac{9y}{x}$即x=3y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)z=6y²，
∴$\frac{6}{x}+\frac{4}{y}-\frac{6}{z}$=$\frac{2}{y}$+$\frac{4}{y}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=-（$\frac{1}{y}$-3）²+9，
由二次函數(shù)的知識(shí)可知當(dāng)$\frac{1}{y}$=3即y=$\frac{1}{3}$時(shí)，
上式取到最大值9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．