Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域與值域均為R，其反函數(shù)為y=f^-1（x），且對任意實數(shù)x都有．現(xiàn)有數(shù)列a₁=1，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）（文）求滿足對所有n∈N^*恒成立的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為數(shù)列{an}滿足a₁=1，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）^_且   所以，化簡得，，又因為  b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），所以，可判斷 數(shù)列{b_n}是公比為 的等比數(shù)列，進而可求出數(shù)列{b_n}的通項公式． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）中數(shù)列{b_n}的通項公式，以及b_n=a_n+1-a_n可得數(shù)列{a_n}的遞推公式，再用迭代法求出數(shù)列{a_n}的通項公式，就可把化為含m，n的不等式，求出m在那個范圍時，對所有n∈N^*恒成立．
解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=f（a_n），∴a_n=f^-1（a_n+1）
∵任意實數(shù)x都有，∴
∵a_n+1=f（a_n），即a_n=f^-1（a_n+1），∴f（a_n+1）=a_n+2，f^-1（a_n+1）=a_n
∴，即
∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列
故數(shù)列{b_n}的通項為
（Ⅱ）（文）由得a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
==
又∵a₁=1，∴（n∈N^*），即數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且a_n＜3（n∈N^*）
∴滿足對所有n∈N^*恒成立的參數(shù)m必須滿足，即．又，故滿足對所有n∈N^*恒成立的參數(shù)m的取值范圍為．
點評：本題考查了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，以及恒成立問題，做題時需細(xì)心，找到突破口．