Question

如果

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ存在，那么x的取值范圍是（　　）

• A、0≤x＜1
• B、0＜x＜1
• C、0≤x≤1
• D、0＜x≤1

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)極限的概念，及指數(shù)函數(shù)圖象特點(diǎn)，很容易知道應(yīng)該這樣對(duì)x限制：-1＜2x+1≤1，解出即可．

解答： 解：（1）若0＜1-2x＜1，即0＜x＜

1

2

時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=a^x，在0＜a＜1時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)圖象無限接近0，所以對(duì)于

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0；
（2）若1-2x=1，即x=0時(shí)，則

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=1；
（3）若1-2x=0，即x=

1

2

時(shí)，則

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0；
（4）若1-2x＞1，則根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=a^x，在a＞1時(shí)，隨x的增大，函數(shù)圖象向上無限延伸，函數(shù)值無限增大，所以，此時(shí)不存在極限；
（5）若-1＜1-2x＜0，即

1

2

＜x＜1時(shí)，若n無限增大趨向一個(gè)偶數(shù)，則

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0，n無限增大趨向一個(gè)奇數(shù)時(shí)，

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0；
（6）若2x+1=-1，（2x+1）ⁿ是1和-1間隔出現(xiàn)的，所以不存在．
（7）若2x+1＜-1，n趨于無窮大的偶數(shù)時(shí)，（2x+1）ⁿ趨于正無窮大，n趨于無窮大的奇數(shù)時(shí)，（2x+1）ⁿ趨于負(fù)無窮大，所以不存在極限．
綜上可得，x的取值范圍是0≤x＜1．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題極限的概念，和指數(shù)函數(shù)圖象特點(diǎn)．考查分類討論思想的應(yīng)用．