Question

1．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，定點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）在橢圓上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，定直線l的方程為x=-4，過橢圓上一點(diǎn)P作切線m與l交于T點(diǎn)，過P且垂直于直線m的直線n交F₁F₂于點(diǎn)M．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的離心率為e，求證：$\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}$=e；
（3）證明PM為∠F₁PF₂的平分線．

Answer 1

分析 （1）利用離心率找到a，b，c的關(guān)系，把方程中的a，b用c表示，代入定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，把PF₁，F(xiàn)₁M用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示（3）用（2）中求得的坐標(biāo)，結(jié)合內(nèi)角平分線定理進(jìn)行證明，用焦半徑計(jì)算公式求PF₁ 和PF₂

解答 解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，
因?yàn)閑=$\frac{1}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=4c²，b²=3c²，則橢圓的方程變?yōu)?br />$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$
代入點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）的坐標(biāo)得到：c²=1
故橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）設(shè)P（x₀，y₀），
因?yàn)闄E圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，所以$\frac{2x}{4}+\frac{2y{y}^{'}}{3}=0$，即$y'=-\frac{3x}{4y}$，所以直線n的斜率是$\frac{4{y}_{0}}{3{x}_{0}}$
∴直線n的方程是：$y-{y}_{0}=\frac{4{y}_{0}}{3{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
在直線方程中令y=0，得到${x}_{M}=\frac{{x}_{0}}{4}$
因?yàn)?br /> $\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}=\frac{\frac{{x}_{0}}{4}-（-1）}{2+\frac{1}{2}{x}_{0}}=\frac{{x}_{0}+4}{8+2{x}_{0}}=\frac{1}{2}=e$
所以結(jié)論成立
（3）由（2）知點(diǎn)M（$\frac{{x}_{0}}{4}，0$）
因?yàn)?br />$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}=\frac{a+e{x}_{0}}{a-e{x}_{0}}=\frac{2+\frac{1}{2}{x}_{0}}{2-\frac{1}{2}{x}_{0}}=\frac{4+{x}_{0}}{4-{x}_{0}}$，$\frac{{F}_{1}M}{M{F}_{2}}=\frac{\frac{{x}_{0}}{4}+1}{1-\frac{{x}_{0}}{4}}=\frac{4+{x}_{0}}{4-{x}_{0}}$
所以
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}=\frac{{F}_{1}M}{M{F}_{2}}$
即PM是∠F₁PF₂的角平分線
所以結(jié)論成立

點(diǎn)評 （1）利用方程思想解出橢圓的方程；（2）求直線m的斜率用的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，也可以用判別式法，但是求導(dǎo)比判別式簡單；（3）第（2）解出點(diǎn)M的坐標(biāo)后，本小題就比較簡單了，但是要用到內(nèi)角平分線定理．