Question

【題目】如圖，在三棱柱中，為正三角形，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．

（1）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）存在線(xiàn)段的中點(diǎn)滿(mǎn)足題意，理由見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）由點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，可得，得到平面，取的中點(diǎn)，得，同理平面，再由面面平行的判定可得平面平面，進(jìn)一步得到平面；

（2）由已知求解三角形證明平面，得到，求出三角形的面積，再由棱錐體積公式求三棱錐的體積．

（1）存在線(xiàn)段的中點(diǎn)滿(mǎn)足題意

證明如下：

因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，

又平面，平面，所以平面．

取中點(diǎn)，連接，，則，

同理平面．

又，所以平面平面．

又平面，所以平面．

（2）由，為正三角形，及棱柱知為正三角形，，，，．

因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，

又，所以平面．

因?yàn)?/span>，所以平面．

又，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面．

又平面，所以，

所以，

所以．