Question

1．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₂=2，a_n+1-3a_n+2a_n-1=0，（n∈N^*，且n≥2），求a_n，并求出它的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析 由題意可得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），數(shù)列{a_n-a_n-1}為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列恒等式a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），再由等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求．

解答 解：a_n+1-3a_n+2a_n-1=0，即為a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），
數(shù)列{a_n-a_n-1}為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
即有a_n-a_n-1=2^n-2（n＞1），
則a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+2+4+…+2^n-2=1+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1，
則前n項(xiàng)的和S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列恒等式的運(yùn)用及構(gòu)造數(shù)列的思想，屬于中檔題．