Question

已知a＞0且a≠1，設命題p：對數(shù)函數(shù)y=log_ax在R⁺上單調遞減，命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點，如果“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數(shù)的性質及應用,簡易邏輯

分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性可得P：0＜a＜1．由于曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點，可得△＞0，得到q．由于“p∨q”為真，且“p∧q”為假，可得p真q假，或p假q真．即可得出．

解答： 解：∵y=a^x+1單調遞減，∴P：0＜a＜1．
∵曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點
∴△=（2a-3）²-4＞0，
∴q：a＞

5

2

或a＜

1

2

．
∵“p∨q”為真，且“p∧q”為假，
∴p真q假，或p假q真．
當p真q假時，{

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

得，

1

2

≤a＜1，
當p假q真時，{

a＞1 a＞ 5 2 或a＜ 1 2

得，a＞

5

2

∴

1

2

≤a＜1或a＞

5

2

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調性、二次函數(shù)與x軸的交點與判別式的關系、復合命題的真假判斷，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．