Question

數(shù)列{a_n}、{b_n}均為各項都是正整數(shù)的等差數(shù)列，a_n=n，b₁=1，在集合M={（a_i，b_j）︳i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，…，n}中滿足a_i+b_j≤4的點恰有4個．
（Ⅰ）求b_n及{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）求{

1

(2an+1)bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）滿足a_i+b_j≤4的正整數(shù)值組合有（1，1）（2，1）（2，2）（3，1），分別討論驗證，得出b₂=3
利用等差數(shù)列通項公式和求和公式求b_n及{b_n}的前n項和S_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

(2an+1)bn

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂項后求和．

解答： 解：（Ⅰ）因為（1，1）（2，1）（3，1）適合a_i+b_j≤4，即（a₁，b₁），（a₂，b₁），（a₃，b₁），適合條件，
若b₂=2，則（a₁，b₂），（a₂，b₂）也適合條件，與已知矛盾
若b₂=3，則（a₁，b₂）適合條件，而（a₂，b₂）不適合條件，此時共有（a₁，b₁），（a₂，b₁），（a₃，b₁） （a₁，b₂）適合條件，當(dāng)b₂＞3時，不可能適合條件，所以b₂=3
即b_n=1+（n-1）2=2n-1，Sn=

(1+2n-1)n

2

=n2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

(2an+1)bn

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

(2a1+1)b1

+

1

(2a2+1)b2

+…+

1

(2an+1)

=

1

2×1-1

-

1

2×1+1

+

1

2×2-1

-

1

2×2+1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

點評：本題考查等差數(shù)列通項公式，求和運算，考查分類討論，邏輯推理能力．