Question

10．已知x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=2，若x+y＞3m²+m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍用區(qū)間表示為（-1，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為（x+y）_min＞3m²+m，然后得到x+y=$\frac{1}{2}$×2×（x+y）=$\frac{1}{2}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$），再結(jié)合基本不等式確定其最值即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y＞3m²+m恒成立，
∴（x+y）_min＞3m²+m，
∵x+y=$\frac{1}{2}$×2×（x+y）
=$\frac{1}{2}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2）=2，
∴3m²+m＜2，
∴-1＜m＜$\frac{2}{3}$．
故答案為：（-1，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了基本不等式及其靈活運(yùn)用，注意基本不等式的適應(yīng)關(guān)鍵：一正、二定（定值）、三相等（即驗(yàn)證等號(hào)成立的條件），注意給條件求最值問題，一定要充分利用所給的條件，作出適當(dāng)?shù)淖冃危�然后，巧妙的利用基本不等式進(jìn)行處理，這也是近幾年�？碱}目，復(fù)習(xí)時(shí)需要引起高度關(guān)注．