（1）設橢圓+=1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同，離心率為，求橢圓的標準方程．
（2）設雙曲線與橢圓+=1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的標準方程．
【答案】分析：（1）由拋物線方程得到它的焦點坐標為F（2，0）也是橢圓的右焦點，由此得到m2-n2=4．根據(jù)橢圓離心率為，得到m2-n2=m2，聯(lián)解得到m2=16，n2=12，即得該橢圓的標準方程；
（2）根據(jù)橢圓+=1經(jīng)過點A的縱坐標為4，算出A的橫坐標是，得A（，4）．算出橢圓的焦點坐標為（0，±3）也是雙曲線的焦點，由此可設雙曲線方程為-=1（0＜k＜9），代入點A坐標解出k=4，從而得到此雙曲線的標準方程．
解答：解：（1）∵拋物線y2=8x的焦點坐標為F（2，0）
∴橢圓+=1（m＞0，n＞0）的右焦點為F（2，0），可得m2-n2=4…①
∵橢圓的離心率e==，∴=…②
聯(lián)解①②，得m2=16，n2=12
∴該橢圓的標準方程為+=1；
（2）∵橢圓+=1經(jīng)過點A的縱坐標為4
∴設A（t，4），可得+=1，解之得t=，A（，4）
∵橢圓+=1的焦點為（0，±3），雙曲線與橢圓+=1有相同的焦點，
∴雙曲線的焦點為（0，±3），因此設雙曲線方程為-=1（0＜k＜9）
將點A（，4）代入，得-=1，解之得k=4（舍負）
∴雙曲線方程為=1
點評：本題給出兩個曲線有公共的焦點，在已知它們一個交點坐標的情況下求曲線的方程，著重考查了橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
5
+
y2
2
=1和圓C：x2+y2=4，且圓C與x軸交于A1，A2兩點．
（1）設橢圓C1的右焦點為F，點P的圓C上異于A1，A2的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明；
（2）設點M（x0，y0）在直線x+y-3=0上，若存在點N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標原點），求x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
（1）設橢圓的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差數(shù)列，求橢圓C的方程；
（2）設（1）中的橢圓C與直線y=kx+1相交于P、Q兩點，求
OP
•
OQ
的取值范圍；
（3）設A為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸的一個端點，B為橢圓短軸的一個端點，F(xiàn)為橢圓C的一個焦點，O為坐標原點，記∠BFO=θ．當橢圓C同 時滿足下列兩個條件：①
π
6
≤θ≤
π
4
；②O到直線AB的距離為
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點．
（1）設橢圓C上的點(
2
2
，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于2
2
，寫出橢圓C的方程；
（2）設過（1）中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF1的面積；
（3）設點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPN，kPN試探究kPN•kPN的值是否與點P及直線l有關，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓和圓，且圓C與x軸交于A1，A2兩點 （1）設橢圓C1的右焦點為F，點P的圓C上異于A1，A2的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明。   （2）設點在直線上，若存在點，使得（O為坐標原點），求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年人教版高考數(shù)學文科二輪專題復習提分訓練22練習卷（解析版） 題型：解答題

設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.

 

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