Question

20．證明：1，$\sqrt{3}$，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的定義，利用反證法進(jìn)行證明．

解答 證明：假設(shè)1，$\sqrt{3}$，2為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)．
可設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為d，
其中1，$\sqrt{3}$，2分別是等差數(shù)列的第m、n、k項(xiàng)，
則1=a+（m-1）d，①
$\sqrt{3}$=a+（n-1）d，②
2=a+（k-1）d，③
∴②-①得$\sqrt{3}$-1=（n-m）d，
③-①得1=（k-m）d，
將上面兩式相除得：
$\sqrt{3}$-1=$\frac{n-m}{k-m}$
這是不可能的，上式右邊是有理數(shù)，左邊是無(wú)理數(shù)．
∴假設(shè)不成立，
即1，$\sqrt{3}$，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反證法的應(yīng)用，結(jié)合等差數(shù)列的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．