Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其中a₃=1，a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=（n-1）2^n-2+1（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，當(dāng)n≥3時(shí)，求證：．

Answer 1

解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，
∵a₃=1，
∴a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．
∵a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，
∴2（q²+1）=q+q³，
解得q=2． （2分）
∴a_n=a₃q^n-3=2^n-3． （3分）
當(dāng)n=1時(shí)，，
∴．（4分）
當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴（6分）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=3時(shí)，左邊=．
右邊=
∵2⁵＞3³，
∴，
∴，
即，
∴左邊＞右邊，
∴不等式成立．（8分）
②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)不等式成立．
即，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，，
要證n=k+1時(shí)不等式也成立，
只需證
即證：．（10分）
下面先證
∵，所以有：

=
又k≥3，
∴
∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
綜合①②可知：當(dāng)n≥3時(shí)，．（14分）．
分析：（1）設(shè){a_n}的公比為q，由a₃=1，知a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．由a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，能求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=3時(shí)，左邊=．右邊=．由2⁵＞3³，知不等式成立．②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)不等式成立．即．那么當(dāng)n=k+1時(shí)，，要證n=k+1時(shí)不等式也成立，只需證：，由此能證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．綜合①②可知：當(dāng)n≥3時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．