Question

（2013•永州一模）如圖所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AD=2，AB=3，CD=4，P在線段AB上，BP=1，O在CD上，且OP∥AD，將圖甲沿OP折疊使得平面OCBP⊥底面ADOP，得到一個多面體（如圖乙），M、N分別是AC、OP的中點．
（1）求證：MN⊥平面ACD；
（2）求平面ABC與底面OPAD所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD中點Q，結合已知條件，利用線面垂直的判定定理證出OQ垂直于平面ACD，通過證明四邊形OQMN為平行四邊形得到OQ平行于MN，從而證出要證的結論；
（2）以O為坐標原點，分別以OP，OD，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出平面ABC與底面OPAD的一個法向量，利用法向量所成角的余弦值得到平面ABC與底面OPAD所成角（銳角）的余弦值．

解答：（1）證明：如圖，
取CD的中點為Q，連接MQ，OQ，
因為OC=OD，所以OQ⊥CD，
依題意知：面OCD⊥底面OPAD，
AD⊥OD，AD⊥平面OCD，
而OQ?面OCD，AD⊥OQ，
又CD∩AD=D，
所以OQ⊥面ACD，
MQ是△ACD的中位線，故MQ∥

1

2

AD，MQ=

1

2

AD，
NO∥

1

2

AD，NO=

1

2

AD，
則MQNO，所以MN∥OQ，
故MN⊥平面ACD；
（2）解：如圖所示，分別以OP，OD，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
B（2，0，1），A（2，2，0）C（0，0，2），
底面OPAD的一個法向量

m

=(0，0，1)，
設平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，

AB

=(0，-2，1)，

CB

=(2，0，-1)，
依題知：

n • AB =0×x-2×y+z=0   n • CB =2×x+0×y-z=0

，
即

-2y+z=0 2x-z=0

，
令x=1，則y=1，z=2，

n

=(1，1，2)，
所以 cos＜

m

，

n

＞=

2

1× 6

=

6

3

，
故平面ABC與底面OPAD所成角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關鍵是明確折疊問題在折疊前后的變量和不變量，是中檔題．