在等腰梯形ABCD中,E、F分別是CD、AB中點(diǎn),CD=2,AB=4,AD=BC=數(shù)學(xué)公式.沿EF將梯形AFED折起,使得∠AFB=60°,如圖.
(Ⅰ)若G為FB的中點(diǎn),求證:AG⊥平面BCEF;
(Ⅱ)求二面角C-AB-F的正切值.

解:(Ⅰ)因?yàn)锳F=BF,∠AFB=60°,△AFB為等邊三角形.
又G為FB的中點(diǎn),所以AG⊥FB.(2分)
在等腰梯形ABCD中,因?yàn)镋、F分別是CD、AB的中點(diǎn),
所以EF⊥AB.于是EF⊥AF,EF⊥BF,則EF⊥平面ABF,
所以AG⊥EF.(4分)
又EF與FB交于一點(diǎn)F,所以AG⊥平面BCEF.(5分)

(Ⅱ)解法一:連接CG,因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中,
CD=2,AB=4,E、F分別是CD、AB中點(diǎn),
所以EC=FG=BG=1,從而CG∥EF.
因?yàn)镋F⊥面ABF,所以CG⊥面ABF.(7分)
過點(diǎn)G作GH⊥AB于H,連接CH,據(jù)三垂線定理有CH⊥AB,
所以∠CHG為二面角C-AB-F的平面角.(9分)
因?yàn)镽t△BHG中,BG=1,∠GBH=60°,所以GH=.(10分)
在Rt△CGB中,CG⊥BG,BG=1,BC=,所以CG=1.(11分)
在Rt△CGH中,tan∠CHG==,故二面角C-AB-F的正切值為.(12分)
解法二:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,由已知可得,
點(diǎn)B(2,0,0),A(1,0,),C(1,1,0).(7分)
因?yàn)镋F⊥平面ABF,所以=(0,1,0)為
平面ABF的一個法向量.(8分)
設(shè)=(x,y,z)為平面ABCD的法向量,
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/139056.png' />,,
,,得,即
,則,z=1,所以=(,,1).(10分)
所以cos<,>==.(11分)
從而tan<,>=,故二面角C-AB-F的正切值為.(12分)
分析:(I)由已知AF=BF,∠AFB=60°,G為FB的中點(diǎn),可得AG⊥FB①再由E、F分別是CD、AB的中點(diǎn),可得EF⊥AB,于是EF⊥AF,EF⊥BF,則EF⊥平面ABF,進(jìn)而可得AG⊥EF②,結(jié)合①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證AG⊥平面BCEF
(II)(法一:三垂線法)利用梯形的知識可得CG∥EF,由已知易證EF⊥面ABF,從而可得CG⊥面ABF,考慮利用三垂線法,過點(diǎn)G作GH⊥AB于H,連接CH,據(jù)三垂線定理可得∠CHG為二面角C-AB-F的平面角.在Rt△BHG中求解∠CHG
(法二:空間向量法)結(jié)合題中的條件,可考慮分別以FB、FE為x、y、軸,以過F且垂直于面FBCE的直線為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,借助于坐標(biāo)系找出平面ABCD的一個法向量,平面ABF的一個法向量,代入公式可求
點(diǎn)評:本小題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系:線面垂直的判定的運(yùn)用、二面角的度量:二面角的平面角的作法①三垂線法,②利用空間向量轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角,要求考生具備一定的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,設(shè)∠DAB=θ,θ∈(0,
π
2
),以A,B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1,以C,D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2,則(  )
A、隨著角度θ的增大,e1增大,e1e2為定值
B、隨著角度θ的增大,e1減小,e1e2為定值
C、隨著角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大
D、隨著角度θ的增大,e1減小,e1e2也減小

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在等腰梯形ABCD中,E、F分別是CD、AB中點(diǎn),CD=2,AB=4,AD=BC=
2
.沿EF將梯形AFED折起,使得∠AFB=60°,如圖.
(Ⅰ)若G為FB的中點(diǎn),求證:AG⊥平面BCEF;
(Ⅱ)求二面角C-AB-F的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在等腰梯形ABCD中,M,N分別是AB,CD的中點(diǎn),沿MN將MNCB折起至MNC1B1,使它與MNDA成直二面角.已知AB=2CD=4MN,給出下列四個等式:
(1)
AN
C1N
=0;(2)
B1C1
AN
=0;(3)
B1C1
AC1
=0;(4)
B1C1
AM
=0
.中成立的個數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=6,CD=4,梯形ABCD的面積是5
7
.若分別以A、B為橢圓E的左右焦點(diǎn),且C、D在橢圓E上.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)為M,直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),那么是否存在直線l,使B點(diǎn)恰為△PQM的垂心?如果存在,求出直線l的方程;如果不存在,請說明理由.

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