Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若在上單調(diào)遞増，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式得出，由題意得出，列出不等式組求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由可得對(duì)任意的恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的最小值，解出不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），

.

解不等式，得.

由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）不等式對(duì)任意的恒成立，可得對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.

，構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則.

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，

解得，此時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則存在，使得，

此時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，

即，

即，得，又，所以，，解得，

此時(shí).

構(gòu)造函數(shù)，其中，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，，即.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.