Question

一條變動(dòng)的直線L與橢圓+=1交于P、Q兩點(diǎn)，M是L上的動(dòng)點(diǎn)，滿足關(guān)系|MP|·|MQ|=2．若直線L在變動(dòng)過程中始終保持其斜率等于1．求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明曲線的形狀．

 

Answer 1

【答案】

x²+2y²=1．

【解析】

試題分析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，動(dòng)直線L：y=x+m，并設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是方程組的解，消去y，得3x²+4mx+2m²－4=0，其中Δ=16m²－12(2m²－4)>0，∴－<m<，且x₁+x₂=－，x₁x₂=，又∵|MP|=|x－x₁|，|MQ|=|x－x₂|．由|MP||MQ|=2，得|x－x₁||x－x₂|=1，也即

|x²－(x₁+x₂)x+x₁x₂|=1，于是有∵m=y－x，∴|x²+2y²－4|=3．由x²+2y²－4=3，得橢圓夾在直線間兩段弧，且不包含端點(diǎn)．由x²+2y²－4=－3，得橢圓x²+2y²=1．

考點(diǎn)：本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程的求法。

點(diǎn)評(píng)：解答中從聯(lián)立方程組出發(fā)，運(yùn)用韋達(dá)定理，體現(xiàn)了整體觀，是解析幾何問題中的常見類型。