Question

5．求與橢圓4x²+9y²=36有相同的焦距，且離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 設(shè)要求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）.$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．由橢圓4x²+9y²=36化為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得c．可得a，b²=a²-c²．即可得出．

解答 解：設(shè)要求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）.$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
由橢圓4x²+9y²=36化為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得c=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$．
∴a=5，b²=a²-c²=20．
∴要求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．