Question

已知函數(shù)f(x)(x∈R,x≠)滿足ax·f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè).?

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;?

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁=,a_n+1 =f(a_n),b_n=,n∈N^*,證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列,并求出{b_n}的通項(xiàng)公式;?

(3)在(2)的條件下,證明a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1-,n∈N^*.

Answer 1

(1)解析:由ax·f(x)=2bx+f(x),x≠,a≠0,得f(x)=.?

由f(1)=1,得a=2b+1.?

由f(x)=2x只有一解,即,也就是2ax²-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,?

∴4(1+b)²-4×2a×0=0.∴b=-1.?

∴a=-1.故f(x)=.?

(2)解析:∵a₁=,a_n+1=f(a_n),?

∴a₂=f(a₁)=f()=,a₃=f(a₂)=f()=,a₄=f(a₃)=f()=.?

猜想,a_n=(n∈N^*).?

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:?

1°當(dāng)n=1時(shí),左邊=a₁=,右邊=,?

∴命題成立.?

2°假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即a_k=;?

當(dāng)n=k+1時(shí),a_k+1=f(a_k)=?

=,?

∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.?

由1°、2°可得,當(dāng)n∈N^*時(shí),有a_n=.?

∵b_n= -1= -1= (n∈N^*),∴ (n∈N^*).?

∴{b_n}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為b_n=.?

(3)證明:∵a_nb_n=a_n(-1)=1-a_n?

=1-,?

∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

(n∈N^*).