Question

設(shè)a為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+4c有兩個(gè)屬于區(qū)間[2，3]的實(shí)數(shù)根．
（1）求證：存在以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形；
（2）求證：

a

a+c

+

b

b+a

＞

c

b+c

．

Answer 1

分析：（1）要證存在以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形，只要證a+b＞c即可
由題由題

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 2b a ≤3 △=16b2-16ac≥0

結(jié)合0＜a≤b≤c 且c≤

b2

a

可得a²+ab-b²=

5

4

a²-（b-

a

2

）²≥

5

4

a²-（

3

2

a-

a

2

）²=

1

4

a²＞0，從而可證
（2）由a≤b≤c＜a+b，可得

c

b+c

＜

a+b

b+c

=

a

b+c

+

b

b+c

≤

a

a+c

+

b

b+a

可證

解答：證明：（1）由題

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 2b a ≤3 △=16b2-16ac≥0

即

c≥2b-a 4c≥12b-9a a≤b≤ 3a 2 b2≥ac

∴0＜a≤b≤c 且c≤

b2

a

，（下面證a+b＞

b2

a

≥c）
又a²+ab-b²=

5

4

a²-（b-

a

2

）≥

5

4

a²-（

3

2

a-

a

2

）²=

1

4

a²＞0，
∴a+b≥

b2

a

＞c，∴a、b、c可構(gòu)成三角形的三邊．
（2）由a≤b≤c＜a+b，
∴

c

b+c

＜

a+b

b+c

=

a

b+c

+

b

b+c

≤

a

a+c

+

b

b+a

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次函數(shù)的根的分布，解題的關(guān)鍵是靈活利用二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用．