Question

動(dòng)圓D過(guò)定點(diǎn)A（0，2），圓心D在拋物線x²=4y上運(yùn)動(dòng)，MN為圓D在x軸上截得的弦．
（1）當(dāng)圓心D在原點(diǎn)時(shí)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交圓D于B、C兩點(diǎn)，求△ABC的最大面積；
（2）當(dāng)圓心D運(yùn)動(dòng)時(shí)，記|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，S=

1

2

|FA||x1-x2|=

4-( 1 1+k2 -2)2

≤

3

．由此知當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，△ABC的最大面積為

3

．
（2）設(shè)圓心(a，

a2

4

)，則圓為(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(2-

a2

4

)2．當(dāng)y=0時(shí)，x=a±2，|MN|=4，令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，由此能求出

m

n

+

n

m

的最大值．

解答：解：（1）設(shè)直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，
S=

1

2

|FA||x1-x2|
=

|x1-x2|

2

=

(x1+x2)2-4x1x2

2

=

4k2+3 (1+k2)2

=

4-( 1 1+k2 -2)2

≤

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，△ABC的最大面積為

3

．
（2）設(shè)圓心(a，

a2

4

)，則圓為(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(2-

a2

4

)2．
當(dāng)y=0時(shí)，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA
=

1

2

×4×2=4，
∴

16

mn

=2sinθ，
∴

m

n

+

n

m

=2(sinθ +cosθ+
=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)取得最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．