Question

20．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，過P點(diǎn)作PA⊥l，垂足為A，|PF|=4，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FP}$的值為-8．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，|PF|=||PA|，設(shè)F在l上的射影為F′，依題意，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得|AF′|，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FP}$的值．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，
∴|PF|=||PA|，F(xiàn)（1，0），準(zhǔn)線l的方程為：x=-1，
設(shè)F在l上的射影為F′，又PA⊥l，
設(shè)P（m，n），依|PF|=|PA|得，m+1=4，
解得m=3，n=2$\sqrt{3}$，
∵PA∥x軸，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2$\sqrt{3}$，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，2$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FP}$=（2，-2$\sqrt{3}$）•（2，2$\sqrt{3}$）=4-12=-8．
故答案為：-8．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查解三角形的能力，屬于中檔題．