Question

已知函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax²+bx+c≤0的解集為R，求c的取值范圍；
（3）當x＞-1時，求y=

f(x)-21

x+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0，可得f（x）=0的兩根為-3，2，由韋達定理（根與系數的關系）我們易求出a，b的值，進而得到函數的解析式；
（2）由（1）的結論，根據不等式-3x²+5x+c≤0的解集為R，可得△≤0，由此構造關于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范圍；
（3）根據（1）的結論，我們易求出y=

f(x)-2

x+1

的解析式，結合基本不等式，分析出函數的值域，即可得到其最大值．

解答：解：（1）由已知得，方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根為-3，2，
則

- b-8 a =1 - a+ab a =-6

，即

b-8=a 1+b=6

，
解得a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由已知得，不等式-3x²+5x+c≤0的解集為R，
因為△=5²-4×（-3）×c≤0，
∴c≤-

25

12

，即c的取值范圍為（-∞，-

5

12

]，
（3）y=

f(x)-21

x+1

=

-3x2-3x-3

x+1

=-3×（x+

1

x+1

）=-3×[（x+1）+

1

x+1

-1]，
因為x＞-1，（x+1）+

1

x+1

≥2，
當且僅當x+1=

1

x+1

，即x=0時取等號，
∴當x=0時，y_max=-3．

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，一元二次不等式的解法，基本不等式，函數的最值，其中根據函數的零點與對應方程根的關鍵，結合韋達定理，構造關于a，b的方程，進而求出a，b的值，是解答本題的關鍵．