【題目】已知二次函數(shù)(其中)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件:圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn);②對(duì)于任意成立;③方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)(其中),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(直接寫(xiě)出結(jié)果即可);

(3)研究方程在區(qū)間內(nèi)的解的個(gè)數(shù).

【答案】1;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析

【解析】

1)由圖象過(guò)原點(diǎn)得,由得對(duì)稱(chēng)軸,方程有兩個(gè)相等實(shí)根,對(duì)應(yīng)的,三個(gè)條件可得三個(gè)等式,從而求得得解析式;

(2)化簡(jiǎn)函數(shù)為分段函數(shù),當(dāng)時(shí),結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸求出單調(diào)區(qū)間,時(shí)類(lèi)似求出單調(diào)區(qū)間.

(3)結(jié)合(2)中函數(shù)的單調(diào)性可研究上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).注意零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用.

1)因?yàn)?/span>圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以,即

,所以其對(duì)稱(chēng)軸是,即,

又方程,即有兩個(gè)相等實(shí)根,所以,,

所以

2

①當(dāng)時(shí),的對(duì)稱(chēng)軸是

,即時(shí),上單調(diào)遞增,

,即時(shí),上單調(diào)遞增,在上遞減,

②當(dāng)時(shí),的對(duì)稱(chēng)軸是,

則函數(shù)上遞減,在上遞增,

綜上所述,當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,增區(qū)間為時(shí),減區(qū)間為,,增區(qū)間為,

3)①當(dāng)時(shí),由(2)知上單調(diào)遞增,

,,故函數(shù)上只有一個(gè)零點(diǎn);

時(shí),則,,,

i)當(dāng)時(shí),,

,此時(shí)上只有一個(gè)零點(diǎn),

ii)當(dāng)時(shí),,此時(shí)上有兩個(gè)不同零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)時(shí),上只有一個(gè)零點(diǎn),時(shí),上有兩個(gè)不同零點(diǎn).

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并對(duì)不同年齡層的市民對(duì)這款電視機(jī)的購(gòu)買(mǎi)意愿作出調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:

(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),試估計(jì)該款電視機(jī)的平均使用時(shí)間;

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“愿意購(gòu)買(mǎi)該款電視機(jī)”與“市民的年齡”有關(guān);

(3)若按照電視機(jī)的使用時(shí)間進(jìn)行分層抽樣,從使用時(shí)間在[0,4)和[4,20]的電視機(jī)中抽取5臺(tái),再?gòu)倪@5臺(tái)中隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行配件檢測(cè),求被抽取的2臺(tái)電視機(jī)的使用時(shí)間都在[4,20]內(nèi)的概率.

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