Question

【題目】已知函數函數與直線相切，設函數其中a、c∈R，e是自然對數的底數.

（1）討論h(x)的單調性；

（2）h(x)在區(qū)間內有兩個極值點.

①求a的取值范圍；

②設函數h(x)的極大值和極小值的差為M，求實數M的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）①②

【解析】

直接利用導數的幾何意義即可求得c值，得，求導，分類討論即可求解；
①函數在區(qū)間內有兩個極值點，，則在區(qū)間內有兩個不同的根即可；②的極大值和極小值的差為進行化簡分析．

設直線與函數相切與點，
函數在點處的切線方程為：，，
把，代入上式得，．
所以，實數c的值為2．

所以，

則，

當時, ，

故函數在上單調遞減，無增區(qū)間，

當時，，

，

所以函數在上單調遞增，無減區(qū)間，

當時，令，

解得，

所以當或時，，當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上，當時，函數在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

由知，

設函數在區(qū)間內有兩個極值點，，

令，

則，設

因為，故只需

所以，．
因為，
所以

．
由，得，且．
．
設，，令，
，
在上單調遞減，從而，
所以，實數M的取值范圍是.