Question

已知函數(shù)f(x)=a|x|+

2

ax

(x∈R，a＞1），
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）記函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值與a無(wú)關(guān)，求a的取值范圍；
（3）若m＞2

2

，直接寫(xiě)出（不需給出演算步驟）關(guān)于x的方程f（x）=m的解集．

Answer 1

（1）①x≥0時(shí)，∵ax≥1，f(x)=a|x|+

2

ax

=ax+

2

ax

≥2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)ax=

2

ax

，即ax=

2

＞1時(shí)等號(hào)成立；
②x＜0，∵a＞1，∴0＜ax＜1，∴f(x)=

3

ax

＞3，
由①②知函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >[2

2

，+∞)．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0時(shí)，∵a＞1，

1

a2

≤ax＜1，g(x)=a-x+2ax，
令t=a^x，則g(x)=2t+

1

t

，記h(t)=2t+

1

t

.(

1

a2

≤t＜1)，h(t)=2t+

1

t

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2t=

1

t

，t=

2

2

時(shí)等號(hào)成立，
（i）

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

時(shí)，結(jié)合①知g(x)min=2

2

與a無(wú)關(guān)；
（ii）

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

時(shí)，h′(t)=2-

1

t2

≥2-a4＞0，∴h（t）在[

1

a2

，1)上是增函數(shù)，g(x)min=h(t)min=h(

1

a2

)=a2+

2

a2

＜3，
結(jié)合①知g(x)min=a2+

2

a2

與a有關(guān)；
綜上，若g（x）的最小值與a無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥

4	2

．
（3）①2

2

＜m≤3時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=m的解集為{x|x=loga

m± m2-8

2

}；
②m＞3時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=m的解集為{x|x=loga

m+ m2-8

2

或x=loga

3

m

}．