Question

設f（x）=|lnx|，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，3]上有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、（

  ln3

  3

  ，e）
• C、（0，

  ln3

  3

  ]
• D、[

  ln3

  3

  ，

  1

  e

  ）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先，畫出函數(shù)f（x）=|lnx|的圖象，然后，借助于圖象，結合在區(qū)間（0，3]上有三個零點，進行判斷．

解答： 解：函數(shù)f（x）=|lnx|的圖象如圖示：

當a≤0時，顯然，不合乎題意，
當a＞0時，如圖示，
當x∈（0，1]時，存在一個零點，
當x＞1時，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）為增函數(shù)，
此時f（x）必須在[1，3]上有兩個零點，
∴

g( 1 a )＞0 g(3)≤0 g(1)≤0

 解得，

ln3

3

≤a＜

1

e

，
在區(qū)間（0，3]上有三個零點時，
 

ln3

3

≤a＜

1

e

，
故選D．

點評：本題重點考查函數(shù)的零點，屬于中檔題，難度中等．