Question

已知f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函數(shù)（其中0＜a＜1）
（1）求m值；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0對任意x∈D恒成立，即可得到m=±1，再進(jìn)行檢驗可得m=-1．
（2）用定義證明其單調(diào)性，先在給定的區(qū)間上任取兩個變量且給定大小關(guān)系，再作差變形與零比較，要注意變形到位．

解答：解：（1）由題意可得：f（-x）=-f（x），
所以loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0對任意x∈D恒成立，
即（m²-1）x²=0恒成立，
所以m=±1，
當(dāng)m=1時，函數(shù)無意義，故舍去，
∴m=-1；
（2）由（1）可得：f(x)=loga

x+1

x-1

，并且f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，則

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，即

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

＞0，
又∵0＜a＜1，
∴loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查利用奇偶性求函數(shù)解析式，利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是常規(guī)題，屬中檔題．