Question

已知函數(shù)f（x）=

1 10 x+1，(x≤1) lnx-1，(x＞1)

則方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（　�。�

• A、（-1，0）
• B、（-1，

  1

  10

  ）
• C、（-1，0）∪（

  1

  10

  ，

  1

  e2

  ）
• D、（-1，

  1

  e2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，求出a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x≤1時(shí)f（x）=

1

10

x+1，
∴

1

10

x+1=ax，
所以得到a=

1

10

+

1

x

，
令g（x）=

1

10

+

1

x

，
∵x≤1 又g（x）在（-∞，0）和（0，1）上都是單調(diào)遞減的，
∴g（x）在x≤1上的值域是（-∞，0）∪（1.1，+∞）
當(dāng)x＞1時(shí)，
f（x）=lnx-1=ax，
得到a=

lnx-1

x

，
令h（x）=

lnx-1

x

，
∵x＞1，
∴h′（x）=

2-lnx

x2

，
令h′（x）=0，
得到2-lnx=0 得到x=e²，
∴h（x）在x屬于（1，e²）上單調(diào)增，在（e²，+∞）上單調(diào)減，
∴h（x）的最大值為h（e²）=

1

e2

，
∵當(dāng)x＜e時(shí)，lnx-1＜0，而x趨向正無(wú)窮時(shí)，h（x）趨向0，
∴h（x）的最小值為h（1）=-1（但是開(kāi)區(qū)間 因?yàn)閤＞1），
所以h（x）的值域是（-1，

1

e2

），
因?yàn)閒（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以a屬于（-1，0）∪（

1

10

，

1

e2

），
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，以及分類討論的思想，以及函導(dǎo)數(shù)數(shù)與函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)行解答，是易錯(cuò)題．