Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，
∵橢圓的離心率為，
∴a²=4b²，
又∵M(jìn)（4，1），
∴，解得b²=5，a²=20，故橢圓方程為．…（4分）
（Ⅱ）將y=x+m代入并整理得
5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分）
（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，只要證明k₁+k₂=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根據(jù)（Ⅱ）中的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得：．

上式的分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=
所以k₁+k₂=0，得直線MA，MB的傾斜角互補
∴直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．…（12分）
分析：（I）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的離心率為，得出a²=4b²，再根據(jù)M（4，1）在橢圓上，解方程組得b²=5，a²=20，從而得出橢圓的方程；
（II）因為直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，可將直線方程與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程，有兩個不相等的實數(shù)根，從而△＞0，解得-5＜m＜5；
（III）設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），對（II）的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系得：．再計算出直線MA的斜率k₁=，MB的斜率為k₂=，將式子K₁+K₂通分化簡，最后可得其分子為0，從而得出k₁+k₂=0，得直線MA，MB的傾斜角互補，命題得證．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識點，屬于難題．解題時注意設(shè)而不求和轉(zhuǎn)化化歸等常用思想的運用，本題的綜合性較強對運算的要求很高．