Question

設F是拋物線G：x²=4y的焦點．
（Ⅰ）過點P（0，-4）作拋物線G的切線，求切線方程；
（Ⅱ）過拋物線G的焦點F，作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于A，C，B，D點，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題設切線y=kx-4，又x²=4y聯(lián)立得x²-4kx+16=0，由△=0即16k²-4×16=0，解得k=±2，由此能求出切線方程．
（II）由題意，直線AC斜率存在，由對稱性，k＞0，AC：y=kx+1，x²-4kx-4=0，又x²=4y，x₁+x₂=4kx₁•x₂=-4，所以|AC|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4（1+k²），同理|BD|=4[1+(-

1

k

)2]=

4(1+k2)

k2

，SABCD=

1

2

|AC|•|BD|=

8(1+k2)2

k2

=8(k2+2+

1

k2

)≥32，由此能導出S_min=32．

解答：解：（I）由題設切線y=kx-4（k顯然存在）
又x²=4y聯(lián)立得x²-4kx+16=0
∴△=0即16k²-4×16=0，解得k=±2
∴切線方程為y=±2x-4
（II）由題意，直線AC斜率存在，又對稱性，不妨k＞0
∴AC：y=kx+1∴x²-4kx-4=0
又x²=4y
∴x₁+x₂=4kx₁•x₂=-4
∴|AC|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4（1+k²）
同理|BD|=4[1+(-

1

k

)2]=

4(1+k2)

k2

∴SABCD=

1

2

|AC|•|BD|=

8(1+k2)2

k2

=8(k2+2+

1

k2

)≥32
當k=1時，“=”成立，∴S_min=32

點評：本題考查切線方程的求法和求四邊形ABCD面積的最小值．解題時要認真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運用．