Question

16．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，若其漸近線與圓x²+y²-4y+3=0相切，則此雙曲線的離心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=$\frac{a}$x與圓x²+y²-4y+3=0相切?圓心（0，2）到漸近線的距離等于半徑r，利用點到直線的距離公式和離心率的計算公式即可得出．

解答 解：取雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0．
由圓x²+y²-4y+3=0化為x²+（y-2）²=1．圓心（0，2），半徑r=1．
∵漸近線與圓x²+y²-4y+3=0相切，∴$\frac{|2a|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1化為3a²=b²．
∴該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+3}$=2．
故選：B．

點評 熟練掌握雙曲線的漸近線方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵．