【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,離心率,過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn),且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn),若.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于,兩點(diǎn),以為直徑的圓是否過定點(diǎn),如過定點(diǎn),求出該定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).
【解析】
(1)先根據(jù)離心率得,,再根據(jù)點(diǎn)B在橢圓上得B點(diǎn)縱坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式解得,即得,(2)先考慮直線的斜率不存在情況,確定定點(diǎn),再利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積論證圓過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)∵,∴,,
設(shè),代人橢圓方程得: ,
∴ ,
∴,
∴,
∴,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),以為直徑的圓的圓心為或,半徑為2,
以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 或,
因?yàn)閮蓤A都過坐標(biāo)原點(diǎn),∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,,,
因?yàn)橹本與圓相切,所以圓心到直線的距離,
,
所以,
由,
化簡(jiǎn)得:,
∴,,
∴
,
∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),
綜上,以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“愛國(guó),是人世間最深層、最持久的情感,是一個(gè)人立德之源、立功之本!痹谥腥A民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中,愛國(guó)主義始終是激昂的主旋律。愛國(guó)汽車公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬,得到科技改造投入(億元)與科技改造直接收益(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |
13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
當(dāng)時(shí),建立了與的兩個(gè)回歸模型:模型①:;模型②:;當(dāng)時(shí),確定與滿足的線性回歸方程為:.
(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測(cè)對(duì)“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 | ||
182.4 | 79.2 |
(附:刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù),.)
(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí),國(guó)家給予公司補(bǔ)貼收益10億元,以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù),比較科技改造投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小;
(附:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式 ;)
(3)科技改造后,“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效大幅提高,服從正態(tài)分布,公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率不超過,不予獎(jiǎng)勵(lì);若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過但不超過,每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)2萬元;若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過,每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)5萬元.求每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望.
(附:隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明:(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面是菱形,,底面,是上的任意一點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè),是否存在點(diǎn)使平面與平面所成的銳二面角的大小為?如果存在,求出點(diǎn)的位置,如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位.圓的方程為被圓截得的弦長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn), 圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)、,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,O為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段A1C1上,則直線OE與平面A1BC1所成角的正弦值的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著科技的發(fā)展,近年看電子書的國(guó)人越來越多;所以近期有許多人呼呼“回歸紙質(zhì)書”,目前出版物閱讀中紙質(zhì)書占比出現(xiàn)上升現(xiàn)隨機(jī)選出200人進(jìn)行采訪,經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中看紙質(zhì)書的人數(shù)占總?cè)藬?shù).將這200人按年齡分成五組:第l組,第2組,第3組,第4組,第5組,其中統(tǒng)計(jì)看紙質(zhì)書的人得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值及看紙質(zhì)書的人的平均年齡;
(2)按年齡劃分,把年齡在的稱青壯年組,年齡在的稱為中老年組,若選出的200人中看電子書的中老年人有10人,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為看書方式與年齡層有關(guān)?
看電子書 | 看紙質(zhì)書 | 合計(jì) | |
青壯年 | |||
中老年 | |||
合計(jì) |
附:(其中).
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直,,,為的中點(diǎn).,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求多面體的體積.
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