Question

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)，若．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).

【解析】

（1）先根據(jù)離心率得，，再根據(jù)點(diǎn)B在橢圓上得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式解得，即得，（2）先考慮直線的斜率不存在情況，確定定點(diǎn)，再利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積論證圓過坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）∵，∴，，

設(shè)，代人橢圓方程得： ，

∴ ，

∴，

∴，

∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓的圓心為或，半徑為2，

以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 或，

因?yàn)閮蓤A都過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，

因?yàn)橹本�與圓相切，所以圓心到直線的距離，

，

所以，

由，

化簡(jiǎn)得：，

∴，，

∴

，

∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，

綜上，以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).