Question

6．在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，PB=2$\sqrt{3}$，則PC與平面PAB所成余弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{33}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由等面積求出C到平面PAB的距離，再求出PC，即可求出PC與平面PAB所成余弦值．

解答 解：由題意，∠ABC=30°，AC=1，BC⊥AC，
所以AB=2，BC=$\sqrt{3}$．
∵PA⊥底面ABC，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PA=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，∴PC=3．
設(shè)C到平面PAB的距離為d，則由等面積可得$\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}=\frac{1}{2}•2d$，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴PC與平面PAB所成角的正弦值=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴PC與平面PAB所成角的余弦值=$\sqrt{1-\frac{3}{36}}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$．
故選A．

點評 本題考查線面位置關(guān)系，考查空間角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．