Question

已知數(shù)列{a_n}中a1=

2

3

，a2=

8

9

．當(dāng)n≥2時3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
（Ⅰ）證明：{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅲ）若對任意n∈N^*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}中a1=

2

3

，a2=

8

9

．當(dāng)n≥2時3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*），由此能夠證明{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，故an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2，an-1-an-2=

2

9

(

1

3

)n-3，…a2-a1=

2

9

(

1

3

)0，由累加法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）若對任意n∈N^*，有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，則λ≥

1

a1a2a3…an

在n∈N^*時恒成立．故需求(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)在n∈N^*上的最小值．由此能求出λ的最小值．

解答：（Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

．
當(dāng)n≥2時3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
∴當(dāng)n≥2時3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1，
即an+1-an=

1

3

(an-an-1)．
所以{a_n+1-a_n}是以a2-a1=

2

9

為首項，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，
故an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2，
an-1-an-2=

2

9

(

1

3

)n-3，
…
a2-a1=

2

9

(

1

3

)0，
累加得an-a1=

1

3

-(

1

3

)n，
所以an=1-(

1

3

)n．…（9分）
（Ⅲ）解：若對任意n∈N^*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，
則λ≥

1

a1a2a3…an

在n∈N^*時恒成立．
故需求(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)在n∈N^*上的最小值．
現(xiàn)證n∈N^*時有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)＞

1

2

顯然，左端每個因式都是正數(shù)，
先證明，對每個n∈N^*，有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）
用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：
（�。﹏=1時，上式顯然成立，
（ⅱ）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，
即(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3k

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）
則當(dāng)n=k+1時，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3k

)•(1-

1

3k+1

)
≥[1-(

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

)]•(1-

1

3k+1

)
=1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）-

1

3k+1

+

1

3k+1

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）
≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

+

1

3k+1

），
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
故對一切n∈N^*，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）成立．
所以(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）
=1-

1 3 〔1-( 1 3 )n〕

1- 1 3

=1-

1

2

[1-(

1

3

)n]=

1

2

+

1

2

(

1

3

)n＞

1

2

．
∵1-

1

3n

∈(0，1)，
∴(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≤

2

3

，
故a1a2a3…an∈(

1

2

，

2

3

]，

1

a1a2a3…an

∈[

3

2

，2)，
而λ≥

1

a1a2a3…an

在n∈N^*時恒成立且λ∈N^*，
所以λ的最小值為2．…（14分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查最小值的求法．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．