Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，設x₀為f（x）的極小值點，x₁為g（x）的極值點，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，將點（x₀，f（x₀）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次記為A，B，C，D．
（1）求x₀的值；
（2）若四邊形ABCD為梯形且面積為1，求a，d的值．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極小值，求出x₀的值；
（2）討論滿足g′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極小值，求出x₁的值，再根據(jù)x₂，x₃是g（x）=0的兩個根求出x₂，x₃，然后分別求出A，B，C，D四個點的坐標，由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得AB∥CD，以及四邊形ABCD為梯形且面積為1建立兩個等量關系即可求得a，d的值．

解答：解：（1）f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d），
令f′（x）=0，
由a≠0得x=-1或x=-1-

2d

a

∵a＞0，d＞0．
∴-1-

2d

a

＜-1
當-1-

2d

a

＜x＜-1時，f′（x）＜0，
當x＞-1時f′（x）＞0，
所以f（x）在x=-1處取極小值，即x₀=-1
（2）解：g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d
∵a＞0，x∈R
∴g（x）在x=-

2a+4d

2a

=-1-

2d

a

處取得極小值，即x1=-1-

2d

a

，
由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0，
∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃，
∴x3=-1，x2=-1-

4d

a

，
∵f(x0)=f(-1)=-

1

3

a
g(x1)=g(-1-

2d

a

)=-

4d2

a

∴A(-1，-

1

3

a)，B(-1-

2d

a

，-

4d2

a

)，C(-1-

4d

a

，0)，D（-1，0）
由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得AB∥CD．
-

a

3

=-

4d2

a

即a²=12d²
由四邊形ABCD的面積為1，得

1

2

(|AB|+|CD|)•|AD|=1
即

1

2

(

4d

a

+

2d

a

)•

a

3

=1得d=1，
從而a²=12得a=2

3

，d=1

點評：本小題考查多項式函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)極值的判定，二次函數(shù)與二次方程等基礎知識的綜合運用，考查用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題，解決問題的能力．