Question

某地區(qū)有三座工廠分別位于△ABC的三個頂點，已知AB=AC=

30

km、BC=2

21

km．為了處理三個工廠的污水，現(xiàn)要在△ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）且與B、C等距的一點O處建立一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道OA、OB、OC．
（1）設(shè)OA=xkm，若要使排污管道總長不超過11km，求x的取值范圍；
（2）設(shè)∠OBC=θ，當排污管道總長取最小值時，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BC中點為D，由AB=AC及OB=OC知，O點在線段AD上，設(shè)OA=xkm，求出AD，若要使排污管道總長不超過11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范圍；
（2）設(shè)∠OBC=θ，求出排污管道總長的表達式，求出取最小值時的θ值即可．

解答：解：（1）設(shè)BC中點為D，由AB=AC及OB=OC知，O點在線段AD上
AD=

AB2-BD2

=

30-21

=3km
設(shè)AO=x，則0＜x＜3…（2分）OC=OB=

21+(3-x)2

=

30-6x+x2

由OA+OB+OB≤11知x+2

30-6x+x2

≤11…（3分）
即2

30-6x+x2

≤11-x
平方化簡有：3x²-2x-1≤0…（5分）-

1

3

≤x≤1又  0＜x＜3
故0＜x≤1…（6分）
（2）設(shè)∠OBC=θ，則BO=

21

cosθ

、OD=

21 sinθ

cosθ

∴OA=3-

21 sinθ

cosθ

則L=OA+OB+OC=3+

21

×

2-sinθ

cosθ

…（8分）
令k=

2-sinθ

cosθ

得2=kcosθ+sinθ≤

k2+1

故k²≥3，又k＞0，故k≥

3

…（10分）
則Lmin=3+

21

•

3

=3+3

7

此時有：

2-sinθ

cosθ

=

3

，即

3

cosθ+sinθ=22sin(θ+

π

3

)=2得sin(θ+

π

3

)=1
又θ∈(0，

π

2

)，故θ+

π

3

=

π

2

故θ=

π

6

…（12分）
（若由（1）知L=x+2

30-6x+x2

得L-x=2

30-6x+x2

平方化為x的二次方程△≥0得L_min亦可．）

點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的實際應用，三角函數(shù)的化簡求值，兩角和的正弦函數(shù)的應用，考查計算能力．