Question

如圖，過(guò)拋物線C：x²=4y的對(duì)稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱．
（1）求證：x₁x₂=-4m；
（2）設(shè)P分有向線段

AB

所成的比為λ，若

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，求證：λ=μ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)l方程為：y=kx+m，與拋物線的方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）由P分有向線段

AB

所成的比為λ得

x1

x2

=-λ，利用

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，可得

QP

•(

QA

-μ

QB

)=0，即可得出．

解答：證明：（1）設(shè)l方程為：y=kx+m，與拋物線的方程聯(lián)立

y=kx+m x2=4y

得x²-4kx-4m=0，
∴x₁x₂=-4m．
（2）由P分有向線段

AB

所成的比為λ得

x1

x2

=-λ，
∵

QP

=（0，2m），

QA

=(x1，y1+m)，

QB

=(x2，y2+m)，
∴

QA

-μ

QB

=（x₁-μx₂，y₁+m-μ（y₂+m）），
∵

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
又y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

．
∴

x12

4

-μ

x22

4

+(1-μ)m=0，
把x₁x₂=-4m代入上式得

x 2 1

4

-μ

x 2 2

4

+(1-μ)•

-x1x2

4

=0，
∴(

x1

x2

)2-(1-μ)

x1

x2

-μ=0，
化為λ²+（1-μ）λ-μ=0，
∴λ=-1或λ=μ，而顯然λ＞0，
∴λ=μ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．