Question

已知圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足.

   （I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

   （II）過點(diǎn)（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

解：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN

     GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|

        ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點(diǎn)G的軌跡方程是 

   （2）因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/04/06/02/2014040602034928660121.files/image184.gif'>，所以四邊形OASB為平行四邊形

     若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形

     若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

     矛盾，故l的斜率存在.

    設(shè)l的方程為

    

        ①

    

        ②     

     把①、②代入

         ∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.