Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=k（x-1），若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)k的值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)h（x）=xlnx-kx+k，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h（x）的最小值，再由其最小值大于等于0得到k-e^k-1=0，由此求得k值．

解答： 解：令h（x）=xlnx-kx+k，則h′（x）=1+lnx-k，
當(dāng)x∈（0，e^k-1）時，h′（x）＜0，h（x）在（0，e^k-1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^k-1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）在（e^k-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）≥h（e^k-1）=k-e^k-1，
要使f（x）≥g（x）恒成立，則k-e^k-1≥0，
令t（k）=k-e^k-1，則t′（k）=1-e^k-1，
∴t（k）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴t（k）≤t（1）=0，
∴k-e^k-1≤0，
∴k-e^k-1=0，∴k=1．
故使f（x）≥g（x）恒成立的實數(shù)k的值是1．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h（x），把問題轉(zhuǎn)化為由h（x）的最小值大于等于0求k值，屬有一定難度題目．